Lineare Algebra Beispiele

x + y = 100

$x + y = 100$ ,

20 x + 5 y = 1325

$20 x + 5 y = 1325$

Schritt 1

Ermittle

A X = B

$A X = B$ aus dem Gleichungssystem.

[\begin{matrix} 1 & 1 20 & 5 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1001325 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & 5 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 100 \\ 1325 \end{array}]$

Schritt 2

Finde die Inverse der Koeffizientenmatrix.

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Schritt 2.1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2.2

Find the determinant.

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Schritt 2.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

1 \cdot 5 - 20 \cdot 1

$1 \cdot 5 - 20 \cdot 1$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere

5

$5$ mit

1

$1$ .

5 - 20 \cdot 1

$5 - 20 \cdot 1$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere

- 20

$- 20$ mit

1

$1$ .

5 - 20

$5 - 20$

5 - 20

$5 - 20$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere

20

$20$ von

5

$5$ .

- 15

$- 15$

- 15

$- 15$

- 15

$- 15$

Schritt 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{- 15} [\begin{matrix} 5 & - 1 - 20 & 1 \end{matrix}]

$\frac{1}{- 15} [\begin{array}{c} 5 & - 1 \\ - 20 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

- \frac{1}{15} [\begin{matrix} 5 & - 1 - 20 & 1 \end{matrix}]

$- \frac{1}{15} [\begin{array}{c} 5 & - 1 \\ - 20 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.6

Multipliziere

- \frac{1}{15}

$- \frac{1}{15}$ mit jedem Element der Matrix.

[\begin{matrix} - \frac{1}{15} \cdot 5 & - \frac{1}{15} \cdot - 1 - \frac{1}{15} \cdot - 20 & - \frac{1}{15} \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} \cdot 5 & - \frac{1}{15} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{15} \cdot - 20 & - \frac{1}{15} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 2.7

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

5

$5$ .

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Schritt 2.7.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in

- \frac{1}{15}

$- \frac{1}{15}$ in den Zähler.

[\begin{matrix} \frac{- 1}{15} \cdot 5 & - \frac{1}{15} \cdot - 1 - \frac{1}{15} \cdot - 20 & - \frac{1}{15} \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{15} \cdot 5 & - \frac{1}{15} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{15} \cdot - 20 & - \frac{1}{15} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 2.7.1.2

Faktorisiere

5

$5$ aus

15

$15$ heraus.

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{- 1}{5 (3)} \cdot 5 & - \frac{1}{15} \cdot - 1 - \frac{1}{15} \cdot - 20 & - \frac{1}{15} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 (3)} \cdot 5 & - \frac{1}{15} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{15} \cdot - 20 & - \frac{1}{15} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 2.7.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 \cdot 3} \cdot 5 & - \frac{1}{15} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{15} \cdot - 20 & - \frac{1}{15} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 2.7.1.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3} & - \frac{1}{15} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{15} \cdot - 20 & - \frac{1}{15} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 2.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{15} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{15} \cdot - 20 & - \frac{1}{15} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 2.7.3

Multipliziere

$- \frac{1}{15} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.7.3.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & 1 (\frac{1}{15}) \\ - \frac{1}{15} \cdot - 20 & - \frac{1}{15} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 2.7.3.2

Mutltipliziere

$\frac{1}{15}$ mit

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & \frac{1}{15} \\ - \frac{1}{15} \cdot - 20 & - \frac{1}{15} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$5$ .

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Schritt 2.7.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in

$- \frac{1}{15}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & \frac{1}{15} \\ \frac{- 1}{15} \cdot - 20 & - \frac{1}{15} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 2.7.4.2

Faktorisiere

$5$ aus

$15$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & \frac{1}{15} \\ \frac{- 1}{5 (3)} \cdot - 20 & - \frac{1}{15} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 2.7.4.3

Faktorisiere

$5$ aus

$- 20$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & \frac{1}{15} \\ \frac{- 1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 4) & - \frac{1}{15} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 2.7.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & \frac{1}{15} \\ \frac{- 1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 4) & - \frac{1}{15} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 2.7.4.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & \frac{1}{15} \\ \frac{- 1}{3} \cdot - 4 & - \frac{1}{15} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 2.7.5

Kombiniere

$\frac{- 1}{3}$ und

$- 4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & \frac{1}{15} \\ \frac{- - 4}{3} & - \frac{1}{15} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 2.7.6

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & \frac{1}{15} \\ \frac{4}{3} & - \frac{1}{15} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 2.7.7

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & \frac{1}{15} \\ \frac{4}{3} & - \frac{1}{15} \end{array}]$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Matrizengleichung von links mit der inversen Matrix.

$([\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & \frac{1}{15} \\ \frac{4}{3} & - \frac{1}{15} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & 5 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & \frac{1}{15} \\ \frac{4}{3} & - \frac{1}{15} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 100 \\ 1325 \end{array}]$

Schritt 4

Jede Matrix multipliziert mit ihrer Inversen ist immer gleich

$1$ .

$A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & \frac{1}{15} \\ \frac{4}{3} & - \frac{1}{15} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 100 \\ 1325 \end{array}]$

Schritt 5

Multipliziere

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & \frac{1}{15} \\ \frac{4}{3} & - \frac{1}{15} \end{array}] [\begin{array}{c} 100 \\ 1325 \end{array}]$ .

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Schritt 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

$2 \times 2$ and the second matrix is

$2 \times 1$ .

Schritt 5.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot 100 + \frac{1}{15} \cdot 1325 \\ \frac{4}{3} \cdot 100 - \frac{1}{15} \cdot 1325 \end{array}]$

Schritt 5.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} 55 \\ 45 \end{array}]$

Schritt 6

Vereinfache die linke und rechte Seite.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 55 \\ 45 \end{array}]$

Schritt 7

Ermittle die Lösung.

$x = 55$

$y = 45$